Grok 4.20 (Beta), konveks setlerin Gauss çevresinde alt sınırı iki dakikada %9,1 artırıyor. Bunu bana Xinyuan Xie de belirtmişti. 1993 yılında Keith Ball, n-boyutlu Öklid uzayında bir konveks cismin Gauss çevresinin yukarıdan 4n^{1/4} ile sınırlandığını göstermiştir. Alt sınır için Ball, uygun boyutta bir küp için çevrenin \sqrt{\log(n)} olarak büyüyebildiğini göstermiştir. Yani hangi sınırın keskin olduğu konusunda bir süre boşluk vardı, ta ki 2003'te Fedor Nazarov, güzel bir makalesinde, rastgele bir çokyüzlü örneğinde (birçok rastgele yarım uzayın kesişimi) alt sınırın C n^{1/4} olarak büyüyebildiğini, C=\exp(-5/4)=0.286.... Ayrıca, Nazarov n büyük olduğunda üst sınırdaki sabit 4'ü (yerine 0.64 ile değiştirerek) geliştirmiştir. Bu sınırlar yakın zamana kadar yenilmeden kaldı; 2019'da Martin Raic üst sınır sabit faktörünü 0.64'ten 0.59'a yükseltmeyi başardı. Grok 4.20 (Beta), Nazarov'un yapısını daha dikkatli optimize ederek alt sınır sabitini 0.286'dan 0.3126'ya yükseltmeyi başardı. Bunu, sadece Nazarov'un makalesinin teknikleri içinde oynasa bile şaşırtıcı buluyorum, çünkü çok yakın zamanda Nadimpalli--Pascale (2025), farklı bir yaklaşımla Nazarov'un alt sınırını aynı sabit faktör 0.286 ile geri kazandıkları bir ön baskı yayınladı.... Grok yanıtında çok cömertti: sağladığı iyileştirmenin Nazarov'un ''satır-satır'' argümanını takip ettiğini söyledi, oysa ben diğer modellerden (Grok dışında) Grok'un iddiasını doğrulamalarını istediğimde, bu kısım hariç her konuda hemfikirlerdi; İyileşmenin aslında ''satır satır'' olmadığını :D. Son olarak, Nazarov'un bu gelişmeyi kaçırdığını söyleyemem. Onu uzun zamandır tanıdığım için, cebirsel zarafet için optimal sabitlerden feda etmesinin yaygın olduğundan oldukça eminim. Bütün bunlar neden ilginç? Gauss çevresinin kontrolüne sahip olmak, bu kümelerin karakteristik fonksiyonlarının Fourier kuyruklarını kontrol etmeye olanak tanır; bu da PAC öğrenme ve agnostik öğrenme algoritmalarının zaman karmaşıklığını kontrol etmeye yol açar (bkz. Klivans--O'Donnell--Servedio). Kaynaklar: Grok 4.20 (Beta) ile sohbet bağlantısı. Keith Ball. Gauss ölçüsü için ters izoperimetrik problem. Ayrık ve Hesaplamalı Geometri, 10:411–420, 1993. Adam Klivans, Ryan O'Donnell ve Rocco A Servedio. Gauss yüzey alanı üzerinden geometrik kavramların öğrenilmesi. 49. IEEE Bilgisayar Bilimi Temelleri Sempozyumu (FOCS), sayfa 541–550, 2008. Shivam Nadimpalli, Caleb Pascale. Konveks kümelerin maksimum Gauss çevresinde, yeniden ziyaret edildi. Ön baskı (2025) Fedor Nazarov. Bir Gauss ölçüsüne göre R^n'deki dışbükey bir kümenin maksimum çevresinde. Geometric Aspects of Functional Analysis (2001-2002) kitabında, sayfa 169–187. Matematik Ders Notları, Cilt 1807, Springer, 2003 Martin Raicz. Açık sabitli çok değişkenli bir Berry–Esseen teoremi. Bernoulli 25(4A), 2019, 2824–2853

Feragatname: Grok 4.20'nin dahili beta sürümüne erken erişim vermiştim Öğrencim N. Alpay ile üzerinde çalıştığım sorunlardan biri için yeni bir Bellman fonksiyonu buldu. Problem, iki kısıtlama altında noktasal maksimum fonksiyon U(p,q) tanımlamaya ve U(p,0)'nın davranışını anlamaya indirgenir. Makalemizde U(p,0)\geq I(p) olduğunu kanıtladık; burada I(p) Gauss izoperimetrik profilidir, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} p ~ 0 olarak belirlenmiştir. ~5 dakika sonra, Grok 4.20 açık bir formül U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau} üretti; burada \tau, (0,1)'den p'den başlayarak Brown hareketinin çıkış zamanıdır. Bu, p ~ 0'da U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~p log(1/p) sağlar; bu, logaritmik faktörde karekök iyileşmesidir. Bu sonucun bir önemi var mı? Yarın dünyayı nasıl değiştireceğinizi söylemez. Bunun yerine, Boolean fonksiyonlarının türevlerinin stokastik analoglarının (kuadratik varyasyon) ortalamalarının ne olduğunu anlamaya yönelik küçük bir adım sunuyor: ne kadar küçük olabilirler?  Daha kesin olarak, bu, A \alt kümesi [0,1] kümelerinden 1_A gösterge fonksiyonlarına uygulanan diyadik kare fonksiyonunun L1 normuna keskin bir alt sınır verir. Takagi fonksiyonu hakkındaki önceki tweetimde, ||S_1(1_A)||_1, mucizevi bir şekilde |A| ki (benim için şaşırtıcı şekilde) Riemann hipoteziyle ilişkili. Burada, ||S_2(1_A)||_1, E \sqrt{\tau} tarafından verilir, burada Brown hareketi |A|. Bu fonksiyon, izoperimetrik tip profiller ailesine dahildir, ancak fraktal Takagi fonksiyonunun aksine, düz bir yapıda olup Gauss izoperimetrik profiliyle örtüşmez. Son olarak, harmonik analizde kare fonksiyonunun L^1'de sınırlı olmadığı bilinir. Buradaki soru daha çok merakla ilgiliydi: Boolean fonksiyonlarında test edildiğinde tam olarak nasıl patlıyor 1_A?  Daha önce, en bilinen alt sınır |A|(1-|A|) (Burkholder—Davis—Gandy). Makalemizde, şuA| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|))))}. Bu yeni Grok's Bellman fonksiyonu |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) Ve bu cilt aslında keskin.

Erdős sorunlarını LLM'lerle test etmeye devam ederseniz, muhtemelen sonunda açık olanlardan birini çözeceksiniz. Uzmanlar bunu yapmıyor (açık nedenlerle). Uzman olmayanlar ise uzmanların bunu yaptığını varsayıyor. Öyle değiller.