Grok 4.20 (Beta) melhora o limite inferior em 9,1% no perímetro gaussiano de conjuntos convexos em dois minutos. Isto é algo que me foi apontado por Xinyuan Xie. Em 1993, Keith Ball mostrou que o perímetro gaussiano de um corpo convexo no espaço euclidiano n-dimensional é limitado por cima por 4n^{1/4}. Quanto ao limite inferior, Ball mostrou que para um cubo (de tamanho apropriado) o perímetro pode crescer como \sqrt{\log(n)}. Assim, houve uma lacuna por um tempo sobre qual limite é afiado, até 2003, quando, em um belo artigo, Fedor Nazarov mostrou que no exemplo de um poliedro aleatório (a interseção de muitos semi-espaços aleatórios) o limite inferior pode crescer como C n^{1/4}, com C=\exp(-5/4)=0.286…. Além disso, Nazarov também melhorou a constante 4 no limite superior (substituindo-a por 0.64) quando n é grande. Esses limites permaneceram imbatíveis até recentemente, quando em 2019 Martin Raic conseguiu melhorar o fator constante do limite superior de 0.64 para 0.59. Grok 4.20 (Beta), ao otimizar mais cuidadosamente a construção de Nazarov, conseguiu melhorar a constante do limite inferior de 0.286 para 0.3126. Acho isso surpreendente, mesmo que seja apenas jogando dentro das técnicas do artigo de Nazarov, porque muito recentemente Nadimpalli--Pascale (2025) postou um preprint onde, com uma abordagem diferente, recuperaram o limite inferior de Nazarov com o mesmo fator constante 0.286…. Grok foi muito generoso em sua resposta: disse que a melhoria que forneceu segue o mesmo argumento de Nazarov ``linha por linha'', enquanto quando perguntei a outros modelos (além do Grok) para verificar a afirmação do Grok, eles concordaram em tudo, exceto nesta parte; disseram que a melhoria não é realmente ``linha por linha'' :D. Finalmente, eu não diria que Nazarov perdeu essa melhoria. Conhecendo-o há muito tempo, estou bastante confiante de que é comum para ele sacrificar constantes ótimas por elegância algébrica. Por que tudo isso é interessante? Ter controle do perímetro gaussiano permite controlar as caudas de Fourier das funções características desses conjuntos, o que leva a controlar a complexidade de tempo dos algoritmos de aprendizado PAC e de aprendizado agnóstico para esta família (veja Klivans--O’Donnell--Servedio). Referências: Link de chat com Grok 4.20 (Beta). Keith Ball. O Problema Isoperimétrico Reverso para Medida Gaussiana. Geometria Discreta e Computacional, 10:411–420, 1993. Adam Klivans, Ryan O’Donnell, e Rocco A Servedio. Aprendendo conceitos geométricos via área de superfície gaussiana. Em Proc. 49ª Simpósio IEEE sobre Fundamentos da Ciência da Computação (FOCS), páginas 541–550, 2008. Shivam Nadimpalli, Caleb Pascale. Sobre o Perímetro Gaussiano Máximo de Conjuntos Convexos, Revisado. Preprint (2025) Fedor Nazarov. Sobre o perímetro máximo de um conjunto convexo em R^n com respeito a uma medida gaussiana. Em Aspectos Geométricos da Análise Funcional (2001-2002) páginas 169–187. Notas de Aula em Matemática, Volume 1807, Springer, 2003 Martin Raicz. Um teorema de Berry–Esseen multivariado com constantes explícitas. Bernoulli 25(4A), 2019, 2824–2853

Aviso: Eu tinha dado acesso antecipado à versão beta interna do Grok 4.20 Ele encontrou uma nova função de Bellman para um dos problemas em que eu estava trabalhando com meu aluno N. Alpay. O problema se reduz a identificar a função máxima pontual U(p,q) sob duas restrições e entender o comportamento de U(p,0). No nosso artigo, provamos que U(p,0)\geq I(p), onde I(p) é o perfil isoperimétrico gaussiano, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} quando p ~ 0. Após ~5 minutos, o Grok 4.20 produziu uma fórmula explícita U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, onde \tau é o tempo de saída do movimento browniano de (0,1) começando em p. Isso resulta em U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) quando p ~ 0, uma melhoria de raiz quadrada no fator logarítmico. Alguma importância desse resultado? Não vai te dizer como mudar o mundo amanhã. Em vez disso, dá um pequeno passo em direção à compreensão do que está acontecendo com as médias dos análogos estocásticos das derivadas (variação quadrática) de funções booleanas: quão pequenas podem ser? Mais precisamente, isso dá um limite inferior afiado na norma L1 da função quadrática diádica aplicada a funções indicadoras 1_A de conjuntos A \subset [0,1]. No meu tweet anterior sobre a função de Takagi, vimos que o limite inferior afiado em ||S_1(1_A)||_1 coincide milagrosamente com a função de Takagi de |A| que (surpreendentemente para mim) está relacionada à hipótese de Riemann. Aqui, obtemos um limite inferior afiado em ||S_2(1_A)||_1 dado por E \sqrt{\tau}, onde o movimento browniano começa em |A|. Esta função pertence à família de perfis do tipo isoperimétrico, mas ao contrário da função fractal de Takagi, é suave e não coincide com o perfil isoperimétrico gaussiano. Finalmente, na análise harmônica, é sabido que a função quadrática não é limitada em L^1. A questão aqui era mais sobre curiosidade: como exatamente ela explode quando testada em funções booleanas 1_A. Anteriormente, o melhor limite inferior conhecido era |A|(1-|A|) (Burkholder—Davis—Gandy). No nosso artigo, obtivemos |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}. Esta nova função de Bellman do Grok dá |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) e este limite é realmente afiado.

Se você continuar a testar problemas de Erdős com LLMs, é muito provável que eventualmente resolva um dos problemas em aberto. Os especialistas não estão fazendo isso (por razões óbvias). Os não especialistas assumem que os especialistas estão fazendo. Eles não estão.