Grok 4.20 (Beta) zlepšuje dolní mez o 9,1 % na Gaussově obvodu konvexních množin za dvě minuty. Na to mi upozornil Xinyuan Xie. Už v roce 1993 Keith Ball ukázal, že Gaussův obvod konvexního tělesa v n-rozměrném eukleidovském prostoru je shora omezen 4n^{1/4}. Co se týče dolní meze, Ball ukázal, že pro krychli (odpovídající velikosti) může obvod růst jako \sqrt{\log(n)}. Takže nějakou dobu existovala mezera v tom, která hranice je ostrá, až do roku 2003, kdy Fedor Nazarov v krásném článku ukázal, že na příkladu náhodného mnohoúhelníku (průniku mnoha náhodných poloprostorů) může dolní mez růst jako C n^{1/4}, přičemž C=\exp(-5/4)=0,286.... Kromě toho Nazarov také zlepšil konstantu 4 v horní mezi (nahradil ji 0,64), když je n velké. Tyto hranice zůstaly nepřekonané až do nedávna, kdy v roce 2019 Martin Raic dokázal zlepšit faktor horní hranice konstanty z 0,64 na 0,59. Grok 4.20 (Beta) díky pečlivější optimalizaci Nazarovovy konstrukce dokázal zlepšit dolní mezní konstantu z 0.286 na 0.3126. Přijde mi to překvapivé, i když to jen hraje v rámci technik Nazarovova článku, protože velmi nedávno Nadimpalli--Pascale (2025) zveřejnil preprint, kde jiným přístupem získali Nazarovovu dolní hranici se stejným konstantním faktorem 0,286.... Grok byl ve své odpovědi velmi štědrý: uvedl, že zlepšení, které poskytl, vychází ze stejného argumentu Nazarova "řádek po řádku", zatímco když jsem se ptal jiných modelů (kromě Groka), aby ověřily Grokovo tvrzení, souhlasily se vším kromě této části; Řekli, že zlepšení není skutečně "řádek po řádku" :D. Nakonec bych neřekl, že Nazarov toto zlepšení přehlédl. Znám ho dlouho, jsem si docela jistý, že je běžné, že obětuje optimální konstanty kvůli algebraické eleganci. Proč je to všechno zajímavé? Kontrola Gaussova obvodu umožňuje ovládat Fourierovy ocasy charakteristických funkcí těchto množin, což vede k ovládání časové složitosti PAC učení a agnostických algoritmů pro tuto rodinu (viz Klivans--O'Donnell--Servedio). Reference: Odkaz na chat s Grok 4.20 (Beta). Keith Ball. Reverzní izoperimetrický problém pro Gaussovu míru. Diskrétní a výpočetní geometrie, 10:411–420, 1993. Adam Klivans, Ryan O'Donnell a Rocco A Servedio. Učení geometrických konceptů pomocí Gaussovy povrchové plochy. V Proc. 49th IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), strany 541–550, 2008. Shivam Nadimpalli, Caleb Pascale. Na maximálním gaussovském obvodu konvexních množin, znovu prozkoumáno. Preprint (2025) Fedor Nazarov. Na maximálním obvodu konvexní množiny v R^n vzhledem k Gaussově míře. V Geometric Aspects of Functional Analysis (2001–2002), strany 169–187. Přednáškové poznámky z matematiky, svazek 1807, Springer, 2003 Martin Raicz. Vícerozměrná Berry–Esseenova věta s explicitními konstantami. Bernoulli 25(4A), 2019, 2824–2853

Upozornění: Dal jsem předběžný přístup k interní beta verzi Grok 4.20 Našla novou funkci Bellman pro jeden z problémů, na kterých jsem pracoval se svým studentem N. Alpayem. Problém se redukuje na identifikaci bodové maximální funkce U(p,q) za dvou podmínek a pochopení chování U(p,0). V našem článku jsme dokázali U(p,0)\geq I(p), kde I(p) je Gaussovský izoperimetrický profil, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} jako p ~ 0. Po ~5 minutách Grok 4.20 vyprodukoval explicitní vzorec U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, kde \tau je čas výstupu Brownova pohybu z (0,1) začínajícího v p. To dává U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) při p ~ 0, což je zlepšení logaritmického faktoru o druhou odmocninu. Má tento výsledek nějaký význam? Neřekne ti, jak změnit svět zítra. Spíše to dává malý krok k pochopení, co se děje s průměry stochastických analogů derivací (kvadratické variace) Booleových funkcí: jak malé mohou být?  Přesněji řečeno, to dává ostrou dolní mez na L1 normě dyadické čtvercové funkce aplikované na indikační funkce 1_A množin A \podmnožiny [0,1]. V mém předchozím tweetu o funkci Takagi jsme viděli, že ostrá dolní hranice ||S_1(1_A)||_1 zázračně souhlasí s Takagiho funkcí |A| která (překvapivě pro mě) souvisí s Riemannovou hypotézou. Zde získáme ostrou dolní mez na ||S_2(1_A)||_1 dáno E \sqrt{\tau}, kde Brownův pohyb začíná v |A|. Tato funkce patří do rodiny izoperimetrických profilů, ale na rozdíl od fraktální Takagiho funkce je hladká a neshoduje se s Gaussovým izoperimetrickým profilem. Nakonec je v harmonické analýze známo, že čtvercová funkce není omezena v L^1. Otázka zde byla spíše o zvědavosti: jak přesně se to rozšíří, když se testuje na Booleovských funkcích 1_A.  Dříve byla nejznámější dolní mez |A|(1-|A|) (Burkholder—Davis—Gandy). V našem článku jsme získali |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}. Tato nová Grokova Bellmanova funkce dává |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) A tato hranice je vlastně ostrá.

Pokud budete dál testovat Erdősovy problémy pomocí LLM, je velmi pravděpodobné, že nakonec vyřešíte jeden z otevřených problémů. Odborníci to nedělají (z pochopitelných důvodů). Neodborníci předpokládají, že to dělají odborníci. Nejsou.