جروك 4.20 (بيتا) يحسن الحد الأدنى بنسبة 9.1٪ على المحيط الغاوسي للمجموعات المحدبة خلال دقيقتين. هذا أمر أشار إلي إليه شينيوان شيه. في عام 1993، أظهر كيث بول أن المحيط الغاوسي لجسم محدب في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n محاط من الأعلى ب 4n^{1/4}. أما بالنسبة للحد السفلي، فقد أظهر بول أنه بالنسبة لمكعب (بحجم مناسب) يمكن أن ينمو المحيط ك \sqrt{\log(n)}. لذا كان هناك فجوة لفترة حول أي حد هو الحاد، حتى عام 2003، عندما أظهر فيودور نازاروف في ورقة بحثية جميلة أنه في مثال متعدد الوجوه العشوائي (تقاطع العديد من أنصاف الفضاءات العشوائية) يمكن أن ينمو الحد الأدنى ك C n^{1/4}، مع C=\exp(-5/4)=0.286.... بالإضافة إلى ذلك، حسن نزاروف أيضا الثابت 4 في الحد الأعلى (واستبداله ب 0.64) عندما يكون n كبيرا. وظلت هذه الحدود غير مهزومة حتى وقت قريب، عندما تمكن مارتن رايك في 2019 من تحسين عامل الثابت في الحد العلوي من 0.64 إلى 0.59. تمكن جروك 4.20 (بيتا)، من خلال تحسين بناء نزاروف بشكل أكثر دقة، من تحسين ثابت الحد الأدنى من 0.286 إلى 0.3126. أجد هذا مفاجئا حتى لو كان مجرد لعب ضمن تقنيات ورقة نزاروف، لأن ناديمبالي-باسكال (2025) نشر مؤخرا نسخة مسبقة حيث استعادوا الحد الأدنى لنازاروف بنفس العامل الثابت 0.286.... كان جروك كريما جدا في ردها: قالت إن التحسين الذي قدمه يتبع نفس حجة نازاروف ''سطرا بسطر''، بينما عندما طلبت من نماذج أخرى (غير جروك) التحقق من ادعاء جروك، اتفقوا على كل شيء ما عدا هذا الجزء؛ قالوا إن التحسن ليس "سطرا بسطر" :D. وأخيرا، لا أعتقد أن نازاروف غفل عن هذا التحسن. وبما أنني أعرفه منذ وقت طويل، أنا واثق إلى حد كبير أنه من الشائع أن يضحي بالثوابت المثلى من أجل الأناقة الجبرية. لماذا كل هذا مثير للاهتمام؟ التحكم في محيط غاوسي يسمح للمرء بالتحكم في ذيول فورييه للدوال المميزة لهذه المجموعات، مما يؤدي إلى التحكم في تعقيد زمن تعلم PAC وخوارزميات التعلم اللاأدري لهذه العائلة (انظر كليفانز--أودونيل--سيرفيديو). المراجع: رابط الدردشة مع Grok 4.20 (النسخة التجريبية). كيث بول. مشكلة الإيزوبيريمتري العكسية للقياس الغاوسي. الهندسة المنفصلة والحوسبة، 10:411–420، 1993. آدم كليفانز، رايان أودونيل، وروكو أ. سيرفيديو. تعلم المفاهيم الهندسية عبر مساحة السطح الغاوسية. في الندوة التاسعة والأربعين لمعهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات حول أسس علوم الحاسوب (FOCS)، الصفحات 541–550، 2008. شيفام ناديمبالي، كاليب باسكالي. على المحيط الغاوسي الأقصى للمجموعات المحدبة، أعيد النظر فيه. الطبعة التمهيدية (2025) فيدور نزاروف. على المحيط الأقصى لمجموعة محدبة في R^n بالنسبة لقياس غاوسي. في الجوانب الهندسية للتحليل الدالي (2001-2002)، الصفحات 169–187. ملاحظات المحاضرات في الرياضيات، المجلد 1807، سبرينغر، 2003 مارتن رايتش. مبرهنة بيري-إيسين متعددة المتغيرات مع ثوابت صريحة. برنولي 25(4A)، 2019، 2824–2853

تنويه: كنت قد منحت وصولا مبكرا إلى النسخة التجريبية الداخلية من Grok 4.20 وجدت وظيفة بيلمان جديدة لأحد المسائل التي كنت أعمل عليها مع طالبي ن. ألباي. تقتصر المشكلة على تحديد الدالة العظمى نقطة U(p,q) تحت قيدين وفهم سلوك U(p,0). في ورقتنا أثبتنا U(p,0)\geq I(p)، حيث I(p) هو الملف الإيزوبيرمتري الغاوسي، I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} ك p ~ 0. بعد ~5 دقائق، أنتج جروك 4.20 صيغة صريحة U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}، حيث \tau هو زمن خروج حركة براونيان من (0,1) بدءا من p. هذا ينتج U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) عند p ~ 0، وهو تحسين من الجذر التربيعي في العامل اللوغاريتمي. هل هناك أي أهمية لهذه النتيجة؟ لن يخبرك كيف تغير العالم غدا. بل يعطيك خطوة صغيرة نحو فهم ما يحدث مع متوسطات النظائر العشوائية للمشتقات (التغير التربيعي) للدوال البوليانية: ما مدى صغر حجمها؟  وبشكل أكثر دقة، يعطي هذا حدا أدنى حادا على معيار L1 لدالة المربع الثنائي المطبق على دوال المؤشر 1_A المجموعات A \subset [0,1]. في تغريدتي السابقة عن دالة تاكاجي، رأينا أن الحد الأدنى الحاد ل ||S_1(1_A)||_1 يتطابق بشكل معجزي مع دالة تاكاجي ل |A| والتي (بشكل مفاجئ بالنسبة لي) مرتبطة بفرضية ريمان. هنا، نحصل على حد أدنى حاد على ||S_2(1_A)||_1 المعطى بواسطة E \sqrt{\tau}، حيث تبدأ الحركة البراونية عند |A|. تنتمي هذه الدالة إلى عائلة ملفات تعريف الإيزوبيريمترية، ولكن على عكس دالة تاكاجي الكسيرية، فهي ناعمة ولا تتطابق مع الملف الإيزوبيريمتري الغاوسي. وأخيرا، في التحليل التوافقي يعرف أن دالة المربع ليست محدودة ب L^1. كان السؤال هنا أكثر عن الفضول: كيف بالضبط ينفجر عند اختباره على الدوال البوليانية 1_A.  سابقا، كان الحد الأدنى الأكثر شهرة هو |A|(1-|A|) (بوركهولدر—ديفيس—غاندي). في ورقتنا البحثية، حصلنا على |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}. دالة بيلمان الجديدة لجروك تعطي |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) وهذا الحزام حاد فعلا.

إذا واصلت اختبار مشاكل إردش باستخدام نماذج اللغة الكبيرة (LLMs)، فمن المحتمل جدا أن تحل في النهاية إحدى المشكلات المفتوحة. الخبراء لا يفعلون ذلك (لأسباب واضحة). غير الخبراء يفترضون أن الخبراء هم من يفعلون ذلك. ليسوا كذلك.