Grok 4.20 (Beta) verbessert die untere Schranke um 9,1 % für den gaußschen Umfang konvexer Mengen in zwei Minuten. Das wurde mir von Xinyuan Xie aufgezeigt. 1993 zeigte Keith Ball, dass der gaußsche Umfang eines konvexen Körpers im n-dimensionalen euklidischen Raum von oben durch 4n^{1/4} beschränkt ist. Was die untere Schranke betrifft, so zeigte Ball, dass der Umfang für einen Würfel (in entsprechender Größe) mit \sqrt{\log(n)} wachsen kann. Es gab also eine Weile eine Lücke, welche Schranke scharf ist, bis 2003, als Fedor Nazarov in einem schönen Papier zeigte, dass am Beispiel eines zufälligen Polyeders (der Schnittmenge vieler zufälliger Halbebenen) die untere Schranke als C n^{1/4} wachsen kann, wobei C=\exp(-5/4)=0.286…. Außerdem verbesserte Nazarov auch die Konstante 4 in der oberen Schranke (indem er sie durch 0,64 ersetzte), wenn n groß ist. Diese Schranken blieben bis vor kurzem ungeschlagen, als Martin Raic 2019 es schaffte, den konstanten Faktor der oberen Schranke von 0,64 auf 0,59 zu verbessern. Grok 4.20 (Beta) gelang es, durch eine sorgfältigere Optimierung von Nazarovs Konstruktion die untere Schranke von 0,286 auf 0,3126 zu verbessern. Ich finde das überraschend, auch wenn es nur innerhalb der Techniken von Nazarovs Papier spielt, denn sehr kürzlich veröffentlichten Nadimpalli--Pascale (2025) einen Preprint, in dem sie mit einem anderen Ansatz Nazarovs untere Schranke mit demselben konstanten Faktor 0,286… wiederherstellten. Grok war in seiner Antwort sehr großzügig: Es sagte, dass die Verbesserung, die es bereitstellte, dem gleichen Argument von Nazarov „Zeile für Zeile“ folgt, während andere Modelle (außer Grok) bei der Überprüfung von Groks Anspruch in allem zustimmten, außer in diesem Punkt; sie sagten, die Verbesserung sei nicht wirklich „Zeile für Zeile“ :D. Schließlich würde ich nicht sagen, dass Nazarov diese Verbesserung verpasst hat. Da ich ihn schon lange kenne, bin ich mir ziemlich sicher, dass es für ihn üblich ist, optimale Konstanten für algebraische Eleganz zu opfern. Warum ist das alles interessant? Die Kontrolle über den gaußschen Umfang ermöglicht es, die Fourier-Schwänze der charakteristischen Funktionen dieser Mengen zu kontrollieren, was zu einer Kontrolle der Zeitkomplexität von PAC-Lern- und agnostischen Lernalgorithmen für diese Familie führt (siehe Klivans--O’Donnell--Servedio). Referenzen: Chat-Link mit Grok 4.20 (Beta). Keith Ball. Das umgekehrte isoperimetrische Problem für gaußsche Maße. Diskrete und rechnergestützte Geometrie, 10:411–420, 1993. Adam Klivans, Ryan O’Donnell und Rocco A Servedio. Lernen geometrischer Konzepte über gaußsche Fläche. In Proc. 49. IEEE Symposium über Grundlagen der Informatik (FOCS), Seiten 541–550, 2008. Shivam Nadimpalli, Caleb Pascale. Über den maximalen gaußschen Umfang konvexer Mengen, überarbeitet. Preprint (2025) Fedor Nazarov. Über den maximalen Umfang einer konvexen Menge in R^n in Bezug auf ein gaußsches Maß. In Geometrische Aspekte der Funktionalanalysis (2001-2002) Seiten 169–187. Lecture Notes in Mathematics, Band 1807, Springer, 2003 Martin Raicz. Ein multivariates Berry–Esseen-Theorem mit expliziten Konstanten. Bernoulli 25(4A), 2019, 2824–2853

Haftungsausschluss: Ich hatte frühzeitigen Zugang zur internen Beta-Version von Grok 4.20 gewährt. Es fand eine neue Bellman-Funktion für eines der Probleme, an denen ich mit meinem Studenten N. Alpay gearbeitet habe. Das Problem reduziert sich darauf, die punktweise maximale Funktion U(p,q) unter zwei Einschränkungen zu identifizieren und das Verhalten von U(p,0) zu verstehen. In unserem Papier haben wir bewiesen, dass U(p,0)\geq I(p), wobei I(p) das gaußsche isoperimetrische Profil ist, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} für p ~ 0. Nach ~5 Minuten produzierte Grok 4.20 eine explizite Formel U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, wobei \tau die Austrittszeit der Brownschen Bewegung von (0,1) ist, die bei p beginnt. Dies ergibt U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) für p ~ 0, eine Quadratwurzelverbesserung im logarithmischen Faktor. Hat dieses Ergebnis eine Bedeutung? Es wird Ihnen nicht sagen, wie Sie die Welt morgen verändern können. Vielmehr gibt es einen kleinen Schritt in Richtung Verständnis dessen, was mit den Durchschnitten stochastischer Analogien von Ableitungen (quadratische Variation) von Booleschen Funktionen geschieht: wie klein können sie sein? Genauer gesagt, gibt dies eine scharfe untere Schranke für die L1-Norm der dyadischen Quadratfunktion, die auf Indikatorfunktionen 1_A von Mengen A \subset [0,1] angewendet wird. In meinem vorherigen Tweet über die Takagi-Funktion haben wir gesehen, dass die scharfe untere Schranke für ||S_1(1_A)||_1 auf wundersame Weise mit der Takagi-Funktion von |A| übereinstimmt, die (überraschenderweise für mich) mit der Riemann-Hypothese verbunden ist. Hier erhalten wir eine scharfe untere Schranke für ||S_2(1_A)||_1, gegeben durch E \sqrt{\tau}, wobei die Brownsche Bewegung bei |A| beginnt. Diese Funktion gehört zur Familie der isoperimetrischen Typ-Profile, ist aber im Gegensatz zur fraktalen Takagi-Funktion glatt und stimmt nicht mit dem gaußschen isoperimetrischen Profil überein. Schließlich ist in der harmonischen Analyse bekannt, dass die Quadratfunktion in L^1 nicht beschränkt ist. Die Frage hier war mehr aus Neugier: Wie genau explodiert sie, wenn sie an Booleschen Funktionen 1_A getestet wird. Zuvor war die beste bekannte untere Schranke |A|(1-|A|) (Burkholder—Davis—Gandy). In unserem Papier haben wir |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))} erhalten. Diese neue Bellman-Funktion von Grok gibt |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) und diese Schranke ist tatsächlich scharf.

Wenn Sie weiterhin Erdős-Probleme mit LLMs testen, ist es sehr wahrscheinlich, dass Sie schließlich eines der offenen Probleme lösen werden. Experten tun dies nicht (aus offensichtlichen Gründen). Laien nehmen an, dass die Experten es tun. Tun sie nicht.