Grok 4.20 (Beta) улучшает нижнюю границу на 9.1% для гауссовой периметральной функции выпуклых множеств за две минуты. Это было указано мне Синьюанем Сеем. В 1993 году Кит Болл показал, что гауссовая периметральная функция выпуклого тела в n-мерном евклидова пространстве ограничена сверху значением 4n^{1/4}. Что касается нижней границы, Болл показал, что для куба (соответствующего размера) периметр может расти как \sqrt{\log(n)}. Так что некоторое время существовал разрыв в том, какая граница является точной, пока в 2003 году, в прекрасной статье, Федор Назаров не показал, что на примере случайного полиэдра (пересечение многих случайных полуплоскостей) нижняя граница может расти как C n^{1/4}, где C=\exp(-5/4)=0.286…. Кроме того, Назаров также улучшил константу 4 в верхней границе (заменив ее на 0.64), когда n велико. Эти границы оставались непревзойденными до недавнего времени, когда в 2019 году Мартин Райч смог улучшить верхнюю границу с 0.64 до 0.59. Grok 4.20 (Beta), более тщательно оптимизируя конструкцию Назарова, смог улучшить нижнюю границу с 0.286 до 0.3126. Я нахожу это удивительным, даже если это всего лишь игра в рамках техник статьи Назарова, потому что совсем недавно Надимпалли--Паскаль (2025) опубликовали препринт, в котором, с другим подходом, они восстановили нижнюю границу Назарова с той же константой 0.286…. Grok был очень щедр в своем ответе: он сказал, что улучшение, которое он предоставил, следует тому же аргументу Назарова "строка за строкой", в то время как, когда я спрашивал другие модели (кроме Grok) подтвердить утверждение Grok, они согласились по всем пунктам, кроме этой части; они сказали, что улучшение на самом деле не "строка за строкой" :D. Наконец, я бы не сказал, что Назаров пропустил это улучшение. Зная его долгое время, я довольно уверен, что ему часто приходится жертвовать оптимальными константами ради алгебраической элегантности. Почему это все интересно? Контроль гауссовой периметральной функции позволяет контролировать хвосты Фурье характеристических функций этих множеств, что приводит к контролю временной сложности PAC-обучения и агностического обучения для этой семьи (см. Кливанс--О’Доннелл--Серведи). Ссылки: Ссылка на чат с Grok 4.20 (Beta). Кит Болл. Обратная изопериметрическая задача для гауссовой меры. Дискретная и вычислительная геометрия, 10:411–420, 1993. Адам Кливанс, Райан О’Доннелл и Рокко А. Серведи. Обучение геометрическим концепциям через гауссову поверхность. В Proc. 49-й IEEE Симпозиум по основам компьютерной науки (FOCS), страницы 541–550, 2008. Шивам Надимпалли, Калеб Паскаль. О максимальном гауссовом периметре выпуклых множеств, пересмотрено. Препринт (2025) Федор Назаров. О максимальном периметре выпуклого множества в R^n относительно гауссовой меры. В Геометрические аспекты функционального анализа (2001-2002) страницы 169–187. Лекции по математике, том 1807, Springer, 2003 Мартин Райч. Мультивариантная теорема Берри–Эссена с явными константами. Бернулли 25(4A), 2019, 2824–2853

Отказ от ответственности: Я предоставил ранний доступ к внутренней бета-версии Grok 4.20 Она нашла новую функцию Беллмана для одной из задач, над которой я работал со своим студентом Н. Алпаем. Задача сводится к определению точечно максимальной функции U(p,q) при двух ограничениях и пониманию поведения U(p,0). В нашей статье мы доказали, что U(p,0)\geq I(p), где I(p) — это гауссовский изопериметрический профиль, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} при p ~ 0. Через ~5 минут Grok 4.20 выдала явную формулу U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, где \tau — это время выхода броуновского движения из (0,1), начиная с p. Это дает U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) при p ~ 0, что является улучшением квадратного корня в логарифмическом факторе. Есть ли какое-либо значение этого результата? Это не скажет вам, как изменить мир завтра. Скорее, это дает небольшой шаг к пониманию того, что происходит со средними стохастическими аналогами производных (квадратичная вариация) булевых функций: насколько маленькими они могут быть? Более точно, это дает резкую нижнюю границу на L1 норму диадического квадратного функции, применяемой к индикаторным функциям 1_A множеств A \subset [0,1]. В моем предыдущем твите о функции Такаги мы увидели, что резкая нижняя граница на ||S_1(1_A)||_1 чудесным образом совпадает с функцией Такаги |A|, которая (удивительно для меня) связана с гипотезой Римана. Здесь мы получаем резкую нижнюю границу на ||S_2(1_A)||_1, заданную E \sqrt{\tau}, где броуновское движение начинается с |A|. Эта функция принадлежит к семейству профилей типа изопериметрии, но в отличие от фрактальной функции Такаги, она гладкая и не совпадает с гауссовским изопериметрическим профилем. Наконец, в гармоническом анализе известно, что квадратная функция не ограничена в L^1. Вопрос здесь больше о любопытстве: как именно она раздувается при тестировании на булевых функциях 1_A. Ранее лучшая известная нижняя граница была |A|(1-|A|) (Беркхолдер—Дэвис—Ганди). В нашей статье мы получили |A|(1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}. Эта новая функция Беллмана Grok дает |A|(1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) и эта граница на самом деле резкая.

Если вы продолжите тестировать задачи Эрдёша с помощью LLM, то очень вероятно, что в конечном итоге вы решите одну из открытых задач. Эксперты этого не делают (по очевидным причинам). Неэксперты предполагают, что эксперты занимаются этим. Но это не так.