Grok 4.20 (Beta) îmbunătățește limita inferioară cu 9,1% pe perimetrul gaussian al mulțimilor convexe în două minute. Acest lucru mi-a fost subliniat de Xinyuan Xie. Încă din 1993, Keith Ball a arătat că perimetrul gaussian al unui corp convex în spațiul euclidian n-dimensional este delimitat de sus de 4n^{1/4}. În ceea ce privește limita inferioară, Ball a arătat că pentru un cub (de dimensiune adecvată) perimetrul poate crește ca \sqrt{\log(n)}. Astfel, a existat o pauză pentru o vreme în ceea ce privește care limită este ascuțită, până în 2003, când, într-o lucrare frumoasă, Fedor Nazarov a arătat că, la exemplul unui poliedru aleator (intersecția multor semispații aleatorii), limita inferioară poate crește ca C n^{1/4}, cu C=\exp(-5/4)=0,286.... În plus, Nazarov a îmbunătățit constanta 4 în limita superioară (înlocuind-o cu 0,64) când n este mare. Aceste limite au rămas neînvinse până de curând, când în 2019 Martin Raic a reușit să îmbunătățească factorul constant al limitei superioare de la 0,64 la 0,59. Grok 4.20 (Beta), prin optimizarea mai atentă a construcției lui Nazarov, a reușit să îmbunătățească constanta limitei inferioare de la 0,286 la 0,3126. Mi se pare surprinzător, chiar dacă doar se joacă cu tehnicile lucrării lui Nazarov, pentru că foarte recent Nadimpalli--Pascale (2025) a publicat un preprint în care, cu o abordare diferită, au recuperat limita inferioară a lui Nazarov cu același factor constant 0,286.... Grok a fost foarte generos în răspunsul său: a spus că îmbunătățirea pe care a oferit-o urmează același argument al lui Nazarov "linie cu linie", în timp ce când am întrebat alte modele (în afară de Grok) să verifice afirmația lui Grok, au fost de acord cu totul, cu excepția acestei părți; Ei au spus că îmbunătățirea nu este cu adevărat "linie cu linie" :D. În final, nu aș spune că Nazarov a ratat această îmbunătățire. Cunoscându-l de mult timp, sunt destul de sigur că este obișnuit să sacrifice constante optime pentru eleganța algebrică. De ce este totul interesant? Controlul asupra perimetrului gaussian permite controlul cozilor Fourier ale funcțiilor caracteristice ale acestor mulțimi, ceea ce duce la controlul complexității temporale a învățării PAC și a algoritmilor de învățare agnostici pentru această familie (vezi Klivans--O'Donnell--Servedio). Referințe: Link de chat cu Grok 4.20 (Beta). Keith Ball. Problema izoperimetrică inversă pentru măsura gaussiană. Geometrie discretă și computațională, 10:411–420, 1993. Adam Klivans, Ryan O'Donnell și Rocco A Servedio. Învățarea conceptelor geometrice prin suprafața gaussiană. În Proc. 49th IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), paginile 541–550, 2008. Shivam Nadimpalli, Caleb Pascale. Pe perimetrul gaussian maxim al mulțimilor convexe, revizitat. Preprint (2025) Fedor Nazarov. Pe perimetrul maxim al unei mulțimi convexe în R^n față de o măsură gaussiană. În Geometric Aspects of Functional Analysis (2001-2002), paginile 169–187. Note de curs în matematică, Volumul 1807, Springer, 2003 Martin Raicz. O teoremă Berry–Esseen multivariată cu constante explicite. Bernoulli 25(4A), 2019, 2824–2853

Disclaimer: Am oferit acces timpuriu la versiunea beta internă a Grok 4.20 A găsit o nouă funcție Bellman pentru una dintre problemele la care lucram cu studentul meu N. Alpay. Problema se reduce la identificarea funcției maximale punct cu punct U(p,q) sub două constrângeri și înțelegerea comportamentului lui U(p,0). În lucrarea noastră am demonstrat că U(p,0)\geq I(p), unde I(p) este profilul izoperimetric gaussian, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} ca p ~ 0. După ~5 minute, Grok 4.20 a produs o formulă explicită U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, unde \tau este timpul de ieșire al mișcării browniene de la (0,1) începând de la p. Aceasta duce la U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) la p ~ 0, o îmbunătățire a rădăcinii pătrate a factorului logaritmic. Are vreo semnificație a acestui rezultat? Nu îți va spune cum să schimbi lumea mâine. Mai degrabă, oferă un mic pas spre înțelegerea a ceea ce se întâmplă cu mediile analogilor stocastici ai derivatelor (variație cuadratică) ale funcțiilor booleene: cât de mici pot fi acestea?  Mai precis, aceasta oferă o limită inferioară clară pe norma L1 a funcției pătrat diadice aplicată funcțiilor indicator 1_A mulțimilor A \submulțime [0,1]. În tweet-ul meu anterior despre funcția Takagi, am văzut că limita inferioară clară a ||S_1(1_A)||_1 coincide miraculos cu funcția Takagi a lui |A| care (surprinzător pentru mine) este legată de ipoteza lui Riemann. Aici obținem o limită inferioară ascuțită pe ||S_2(1_A)||_1 dat de E \sqrt{\tau}, unde mișcarea browniană începe la |A|. Această funcție aparține familiei profilurilor de tip izoperimetric, dar spre deosebire de funcția fractală Takagi, este netedă și nu coincide cu profilul izoperimetric gaussian. În final, în analiza armonică se știe că funcția pătrat nu este limitată în L^1. Întrebarea aici era mai mult curiozitate: cum anume explodează când este testată pe funcții booleene 1_A.  Anterior, cea mai cunoscută limită inferioară era |A|(1-|A|) (Burkholder—Davis—Gandy). În lucrarea noastră, am obținut |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}. Această nouă funcție Bellman a lui Grok dă |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) Și această limită este de fapt ascuțită.

Dacă continui să testezi problemele Erdő cu LLM-uri, este foarte probabil să rezolvi în cele din urmă una dintre cele deschise. Experții nu fac asta (din motive evidente). Non-experții presupun că experții fac asta. Nu sunt.