Grok 4.20 (Beta) parantaa alarajaa 9,1 % Gaussin reunalla konveksien sarjojen kohdalla kahdessa minuutissa. Tämän huomautti minulle Xinyuan Xie. Jo vuonna 1993 Keith Ball osoitti, että konveksin kappaleen Gaussin ympärys n-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa on ylhäältä rajattu 4n^{1/4}:llä. Alarajan osalta Ball osoitti, että sopivan kokoisella kuutiolla reuna voi kasvaa \sqrt{\log(n)}. Joten oli jonkin aikaa aukko siinä, mikä raja on terävä, kunnes vuonna 2003 Fedor Nazarov kauniissa artikkelissa osoitti, että satunnaispolyedrin (monien satunnaisten puoliavaruuksien leikkaus) esimerkissä alaraja voi kasvaa muodossa C n^{1/4}, jolloin C=\exp(-5/4)=0.286.... Lisäksi Nazarov paransi vakion 4 ylärajalla (korvasi sen 0,64:llä), kun n on suuri. Nämä rajat pysyivät voittamattomina aina äskettäin asti, jolloin vuonna 2019 Martin Raic onnistui parantamaan ylärajan vakiokerrointa 0,64:stä 0,59:ään. Grok 4.20 (Beta) onnistui optimoimalla Nazarovin rakennetta tarkemmin parantamaan alarajavakion 0,286:sta 0,3126:een. Pidän tätä yllättävänä, vaikka se vain sopiikin Nazarovin artikkelin tekniikoihin, sillä aivan äskettäin Nadimpalli--Pascale (2025) julkaisi esipainoksen, jossa eri lähestymistavalla he palauttivat Nazarovin alarajan samalla vakiokertoimella 0,286.... Grok oli hyvin antelias vastauksessaan: siinä sanottiin, että parannus noudattaa samaa Nazarovin argumenttia ''rivi riviltä'', kun taas kun pyysin muita malleja (paitsi Grok) vahvistamaan Grokin väitteen, he olivat samaa mieltä kaikesta paitsi tästä osasta; He sanoivat, että parannus ei oikeastaan ole 'rivi riviltä'' :D. Lopuksi en sanoisi, että Nazarov olisi jäänyt paitsi tästä parannuksesta. Koska olen tuntenut hänet pitkään, olen melko varma, että on yleistä, että hän uhraa optimaaliset vakiot algebrallisen eleganssin vuoksi. Miksi tämä kaikki on mielenkiintoista? Gaussin reunan hallinta mahdollistaa näiden joukkojen karakterististen funktioiden Fourier-pyrstöjen ohjaamisen, mikä johtaa PAC-oppimisen aikamonimutkaisuuden ja agnostisten oppimisalgoritmien hallintaan tässä perheessä (ks. Klivans--O'Donnell--Servedio). Lähteet: Chat-linkki Grok 4.20:n (Beta) kanssa. Keith Ball. Käänteisisoperimetrinen ongelma Gaussin mittayksikölle. Diskreetti ja laskennallinen geometria, 10:411–420, 1993. Adam Klivans, Ryan O'Donnell ja Rocco A Servedio. Geometristen käsitteiden oppiminen Gaussin pinta-alan kautta. Julkaisussa 49. IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), sivut 541–550, 2008. Shivam Nadimpalli, Caleb Pascale. Kuperien joukkojen maksimaalisella Gaussin reunalla, uudelleentarkasteltu. Preprint (2025) Fedor Nazarov. Konveksin joukon maksimaalisella perimetrillä R^n suhteessa Gaussin mittaan. Teoksessa Geometric Aspects of Functional Analysis (2001–2002), sivut 169–187. Luentomuistiinpanot matematiikassa, Volume 1807, Springer, 2003 Martin Raicz. Monimuuttujainen Berry–Esseen-lause, jossa on eksplisiittisiä vakioita. Bernoulli 25(4A), 2019, 2824–2853

Vastuuvapauslauseke: Olin antanut varhaisen pääsyn Grok 4.20:n sisäiseen beetaversioon Se löysi uuden Bellman-toiminnon yhteen niistä tehtävistä, joita olin työstämässä opiskelijani N. Alpayn kanssa. Ongelma tiivistyy pisteittäin maksimaalisen funktion U(p,q) tunnistamiseen kahdella rajoitteella ja U(p,0):n käyttäytymisen ymmärtämiseen. Artikkelissamme todistimme U(p,0)\geq I(p), missä I(p) on Gaussin isoperimetrinen profiili, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} muodossa p ~ 0. ~5 minuutin jälkeen Grok 4.20 tuotti eksplisiittisen kaavan U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, missä \tau on Brownin liikkeen poistumisaika (0,1) alkaen pisteestä p. Tämä tuottaa U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) kohdassa p ~ 0, mikä on neliöjuuren parannus logaritmiseen tekijään. Onko tällä tuloksella mitään merkitystä? Se ei kerro sinulle, miten muuttaa maailmaa huomenna. Sen sijaan se antaa pienen askeleen kohti ymmärrystä siitä, mitä tapahtuu Boolen funktioiden derivaattojen stokastisten analogien keskiarvoissa (kvadrattinen vaihtelu): kuinka pieniä ne voivat olla?  Tarkemmin sanottuna tämä antaa jyrkän alarajan dyadisen neliöfunktion L1-normille indikaattorifunktioiden 1_A joukoille A \osajoukko [0,1]. Edellisessä twiitissäni Takagi-funktiosta näimme, että jyrkkä alaraja ||S_1(1_A)||_1 ihmeellisesti osuu yhteen Takagi-funktion kanssa |V| joka (yllättäen minulle) liittyy Riemannin hypoteesiin. Tässä saadaan jyrkkä alaraja kohdassa ||S_2(1_A)||_1 annetaan E \sqrt{\tau}, jossa Brownin liike alkaa kohdassa |A|. Tämä funktio kuuluu isoperimetristen tyyppiprofiilien perheeseen, mutta toisin kuin fraktaalinen Takagi-funktio, se on sileä eikä vastaa Gaussin isoperimetristä profiilia. Lopuksi harmonisessa analyysissä tiedetään, että neliöfunktio ei ole rajoitettu L^1:een. Kysymys koski enemmän uteliaisuutta: miten se tarkalleen räjähtää, kun sitä testataan Boolen funktioilla 1_A.  Aiemmin tunnetuin alaraja oli |V|(1-|V|) (Burkholder—Davis—Gandy). Artikkelissamme saimme |V| (1-|V|)\sqrt{log(1/(|V|(1-|A|)))}. Tämä uusi Grok's Bellman -funktio antaa |V| (1-|V|) \log(1/(|V|(1-|A|))) Ja tämä sidonta on itse asiassa terävä.

Jos jatkat Erdős-ongelmien testaamista LLM:illä, on hyvin todennäköistä, että ratkaiset lopulta jonkin avoimista ongelmista. Asiantuntijat eivät tee tätä (ilmeisistä syistä). Ei-asiantuntijat olettavat, että asiantuntijat tekevät sen. Ne eivät ole.