Grok 4.20(ベータ)は、凸集合のガウス周囲の下限を2分で9.1%改善します。 これは謝新元から指摘されたことです。1993年にキース・ボールは、n次元ユークリッド空間における凸体のガウス周囲が上から4n^{1/4}で囲まれていることを示しました。下限については、Ballは適切なサイズの立方体に対して周囲長が\sqrt{\log(n)}で成長できることを示しました。そのため、どの境界が鋭いのかにギャップがありましたが、2003年にフェドール・ナザロフが美しい論文で、ランダム多面体(多くのランダム半空間の交点)の例で下限がC n^{1/4}、C=\exp(-5/4)=0.286で成長できることを示しました。さらに、ナザロフはnが大きい場合、上限の定数4を0.64に置き換えて改良しました。この境界は最近まで破られず、2019年にマーティン・ライクが上限定数係数を0.64から0.59に改善することに成功しました。 Grok 4.20(Beta)は、ナザロフの構成をより慎重に最適化することで、下限定数を0.286から0.3126に改善することに成功しました。これはナザロフの論文の手法を踏襲しているだけでも驚きです。なぜなら、最近Nadimpalli--Pascale(2025)が異なるアプローチで同じ定数係数0.286でナザロフの下限を復元したプレプリントを発表しているからです。 Grokは非常に寛大な回答を示しました。提供した改良はNazarovの「行ごとの」議論と同じものであると述べましたが、私がGrok以外の他のモデルにGrokの主張を検証してもらったところ、この部分以外はすべて同意しました。改善は「一行一行」の:Dではないと言われました。 最後に、ナザロフがこの改善を見逃したとは言えません。長年知っている彼から、代数的な優雅さのために最適定数を犠牲にするのはよくあることだと私はかなり確信しています。 なぜこれが興味深いのでしょうか?ガウス周囲を制御することで、これらの集合の特徴関数のフーリエ尾を制御でき、このファミリーのPAC学習およびアグノスティック学習アルゴリズムの時間計算量を制御することが可能になります(Klivans--O'Donnell--Servedio参照)。 参考文献: Grok 4.20(ベータ版)とのチャットリンク。 キース・ボール。ガウス測度の逆等周問題。離散幾何学および計算幾何学、10巻:411–420、1993年。 アダム・クリバンズ、ライアン・オドネル、ロッコ・A・セルヴェディオ。ガウス表面積を通じて幾何学的概念を学ぶこと。第49回IEEEコンピュータサイエンスの基礎シンポジウム(FOCS)論文集、541–550ページ、2008年。 シヴァム・ナディンパリ、ケイレブ・パスカル。凸集合の最大ガウス周囲について、再検討。プレプリント(2025年) フェドール・ナザロフ。ガウス測度に関してR^nの凸集合の最大周長上。『関数解析の幾何学的側面』(2001-2002年)169–187ページに収録。数学講義ノート 第1807巻、シュプリンガー、2003年 マーティン・ライツ。明示的な定数を持つ多変量ベリー–エッシーン定理。ベルヌーイ 25巻(4A)、2019年、2824–2853頁

免責事項:私はGrok 4.20の内部ベータ版に早期アクセス権を与えていました それは、私が学生のN.アルパイと取り組んでいた問題の一つに対して新しいベルマン関数を見つけました。 この問題は、2つの制約下で点ごとの最大関数U(p,q)を特定し、U(p,0)の挙動を理解することに帰着します。 私たちの論文では、U(p,0)\geq I(p)を証明しました。ここでI(p)はガウス等周プロファイル、I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} はp ~ 0です。 ~5分後、Grok 4.20は明示的な式 U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau} を生成しました。ここで \tau は (0,1) から p から始まるブラウン運動の出口時間です。これにより、P ~ 0 で U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p)となり、対数因子の平方根の改善が得られます。 この結果に何か意味があるのでしょうか?明日世界を変える方法を教えてくれません。むしろ、それは確率的類似物の導関数(二次変分)の平均がどうなっているのかを理解するための小さな一歩です。すなわち、それらはどれほど小さくなり得るのか? より正確には、これは集合A \部分集合[0,1]の指標関数に適用した二進二乗関数のL1ノルムの鋭い下限を与え1_A。 前回の高木関数に関するツイートでは、||の鋭い下限がS_1(1_A)||_1 は奇跡的に | の高木関数と一致します。A|これは(私にとって驚くべきことに)リーマン予想に関連しています。ここで、|| の鋭い下限を得る。S_2(1_A)||_1はE \sqrt{\tau}で与えられ、ここでブラウン運動は|A|。この関数は等周型プロファイルの族に属しますが、フラクタルの高木関数とは異なり滑らかであり、ガウス等周プロファイルとは一致しません。 最後に、調和解析では二乗関数がL^1で有界でないことが知られています。ここでの質問は好奇心に関するものでした。ブール関数1_Aでテストしたとき、どのように爆発するのか。 それ以前、最もよく知られている下限は |A|(1-|A|)(バークホルダー—デイビス—ギャンディ)私たちの論文では、|A|(1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}。この新しいGrokのベルマン関数は |A|(1-|A|)\log(1/(|A|(1-|A|)))そしてこの境界線は実際に鋭いです。

Erdősの問題をLLMでテストし続ければ、いずれ未解決の問題の一つを解決できる可能性が非常に高いです。専門家はこれを行っていません(明白な理由で)。専門家でない人は専門家がやっていると思い込んでしまいます。そうではありません。