Grok 4.20 (Beta) mejora el límite inferior en un 9.1% sobre el perímetro gaussiano de conjuntos convexos en dos minutos. Esto es algo que me señaló Xinyuan Xie. En 1993, Keith Ball demostró que el perímetro gaussiano de un cuerpo convexo en el espacio euclidiano n-dimensional está acotado por encima por 4n^{1/4}. En cuanto al límite inferior, Ball mostró que para un cubo (de tamaño apropiado) el perímetro puede crecer como \sqrt{\log(n)}. Así que hubo una brecha durante un tiempo sobre cuál límite es agudo, hasta 2003, cuando, en un hermoso artículo, Fedor Nazarov demostró que en el ejemplo de un poliedro aleatorio (la intersección de muchos semiespacios aleatorios) el límite inferior puede crecer como C n^{1/4}, con C=\exp(-5/4)=0.286…. Además, Nazarov también mejoró la constante 4 en el límite superior (reemplazándola por 0.64) cuando n es grande. Estos límites se mantuvieron invictos hasta hace poco, cuando en 2019 Martin Raic logró mejorar el factor constante del límite superior de 0.64 a 0.59. Grok 4.20 (Beta), al optimizar más cuidadosamente la construcción de Nazarov, logró mejorar la constante del límite inferior de 0.286 a 0.3126. Encuentro esto sorprendente, incluso si solo se juega dentro de las técnicas del artículo de Nazarov, porque muy recientemente Nadimpalli--Pascale (2025) publicó un preprint donde, con un enfoque diferente, recuperaron el límite inferior de Nazarov con el mismo factor constante 0.286…. Grok fue muy generoso en su respuesta: dijo que la mejora que proporcionó sigue el mismo argumento de Nazarov "línea por línea", mientras que cuando pregunté a otros modelos (que no sean Grok) para verificar la afirmación de Grok, estuvieron de acuerdo en todo excepto en esta parte; dijeron que la mejora no es realmente "línea por línea" :D. Finalmente, no diría que Nazarov se perdió esta mejora. Conociéndolo desde hace mucho tiempo, estoy bastante seguro de que es común para él sacrificar constantes óptimas por elegancia algebraica. ¿Por qué es todo esto interesante? Tener control sobre el perímetro gaussiano permite controlar las colas de Fourier de las funciones características de estos conjuntos, lo que lleva a controlar la complejidad temporal de los algoritmos de aprendizaje PAC y de aprendizaje agnóstico para esta familia (ver Klivans--O’Donnell--Servedio). Referencias: Enlace de chat con Grok 4.20 (Beta). Keith Ball. El problema isoperimétrico inverso para la medida gaussiana. Geometría Discreta y Computacional, 10:411–420, 1993. Adam Klivans, Ryan O’Donnell y Rocco A Servedio. Aprendiendo conceptos geométricos a través del área de superficie gaussiana. En Proc. 49ª Simposio IEEE sobre Fundamentos de la Ciencia de la Computación (FOCS), páginas 541–550, 2008. Shivam Nadimpalli, Caleb Pascale. Sobre el perímetro gaussiano máximo de conjuntos convexos, revisitado. Preprint (2025) Fedor Nazarov. Sobre el perímetro máximo de un conjunto convexo en R^n con respecto a una medida gaussiana. En Aspectos Geométricos de Análisis Funcional (2001-2002) páginas 169–187. Notas de Clase en Matemáticas, Volumen 1807, Springer, 2003 Martin Raicz. Un teorema de Berry–Esseen multivariado con constantes explícitas. Bernoulli 25(4A), 2019, 2824–2853