Grok 4.20 (Beta) 在兩分鐘內將凸集的高斯周長下界提高了 9.1%。 這是 Xinyuan Xie 指出給我的。早在 1993 年，Keith Ball 表示 n 維歐幾里得空間中凸體的高斯周長上界為 4n^{1/4}。至於下界，Ball 表示對於一個（適當大小的）立方體，周長可以增長至 \sqrt{\log(n)}。因此，曾經有一段時間對於哪個界限是尖銳的存在著差距，直到 2003 年，Fedor Nazarov 在一篇優美的論文中展示了隨機多面體（許多隨機半空間的交集）的例子下，下界可以增長至 C n^{1/4}，其中 C=\exp(-5/4)=0.286……此外，當 n 很大時，Nazarov 也將上界中的常數 4 改進為 0.64。這些界限在最近之前一直未被打破，直到 2019 年，Martin Raic 成功將上界常數因子從 0.64 改進為 0.59。 Grok 4.20 (Beta) 通過更仔細地優化 Nazarov 的構造，成功將下界常數從 0.286 提高到 0.3126。即使這只是基於 Nazarov 論文中的技術，我也覺得這很驚訝，因為最近 Nadimpalli--Pascale（2025）發表了一篇預印本，使用不同的方法恢復了 Nazarov 的下界，並且常數因子仍然是 0.286…… Grok 在其回應中非常慷慨：它表示它所提供的改進遵循 Nazarov 的論證「逐行」，而當我要求其他模型（除了 Grok）來驗證 Grok 的主張時，他們在這部分上達成了一致；他們表示這個改進並不是真正的「逐行」 :D。 最後，我不會說 Nazarov 錯過了這個改進。認識他很久，我相當有信心他常常會為了代數的優雅而犧牲最佳常數。 為什麼這一切都很有趣？控制高斯周長使得人們能夠控制這些集合的特徵函數的傅里葉尾，這導致控制 PAC 學習和這個家族的無知學習算法的時間複雜度（見 Klivans--O’Donnell--Servedio）。 參考文獻： 與 Grok 4.20 (Beta) 的聊天連結。 Keith Ball. 高斯測度的反等周問題。離散與計算幾何，10:411–420，1993。 Adam Klivans, Ryan O’Donnell, 和 Rocco A Servedio. 通過高斯表面積學習幾何概念。在第 49 屆 IEEE 計算機科學基礎研討會（FOCS）上，頁 541–550，2008。 Shivam Nadimpalli, Caleb Pascale. 重新探討凸集的最大高斯周長。預印本（2025） Fedor Nazarov. 關於 R^n 中相對於高斯測度的凸集的最大周長。在功能分析的幾何方面（2001-2002）第 169–187 頁。數學講義筆記，卷 1807，Springer，2003 Martin Raicz. 一個具有明確常數的多變量 Berry–Esseen 定理。Bernoulli 25(4A)，2019，2824–2853