Grok 4.20（Beta）在两分钟内将凸集的高斯周长下界提高了9.1%。 这是Xinyuan Xie指出的。早在1993年，Keith Ball就证明了n维欧几里得空间中凸体的高斯周长上界为4n^{1/4}。至于下界，Ball证明了对于一个（适当大小的）立方体，周长可以增长为\sqrt{\log(n)}。因此，曾经有一段时间对于哪个界是尖锐的存在差距，直到2003年，Fedor Nazarov在一篇精彩的论文中展示了在随机多面体（许多随机半空间的交集）的例子中，下界可以增长为C n^{1/4}，其中C=\exp(-5/4)=0.286……此外，当n很大时，Nazarov还将上界中的常数4改进为0.64。这些界限在最近之前一直没有被打破，直到2019年，Martin Raic成功将上界常数从0.64提高到0.59。 Grok 4.20（Beta）通过更仔细地优化Nazarov的构造，将下界常数从0.286提高到0.3126。我觉得这很惊讶，即使这只是玩弄Nazarov论文中的技术，因为最近Nadimpalli--Pascale（2025）发布了一篇预印本，采用不同的方法恢复了Nazarov的下界，常数因子仍为0.286…… Grok在回应中非常慷慨：它表示所提供的改进遵循Nazarov的“逐行”论证，而当我询问其他模型（除了Grok）验证Grok的声明时，他们在这一部分上达成了一致；他们表示改进并不是真正的“逐行” :D。 最后，我不会说Nazarov错过了这个改进。认识他很久，我很有信心他常常为了代数优雅而牺牲最优常数。 为什么这一切都很有趣？控制高斯周长使得可以控制这些集合的特征函数的傅里叶尾，这导致控制PAC学习和无知学习算法的时间复杂度（见Klivans--O’Donnell--Servedio）。 参考文献： 与Grok 4.20（Beta）的聊天链接。 Keith Ball. 高斯测度的逆等周问题。离散与计算几何，10:411–420，1993。 Adam Klivans, Ryan O’Donnell, 和 Rocco A Servedio. 通过高斯表面积学习几何概念。在第49届IEEE计算机科学基础研讨会（FOCS）上，页面541–550，2008。 Shivam Nadimpalli, Caleb Pascale. 重新审视凸集的最大高斯周长。预印本（2025） Fedor Nazarov. 关于R^n中相对于高斯测度的凸集的最大周长。在功能分析的几何方面（2001-2002）第169–187页。数学讲义笔记，卷1807，Springer，2003 Martin Raicz. 带有显式常数的多元Berry–Esseen定理。Bernoulli 25(4A)，2019，2824–2853